Το πρόβλημα αυτό απασχόλησε τους μαθηματικούς μέχρι και τον 19ο αιώνα και τελικά κατατάχθηκε στα άλυτα προβλήματα μαζί με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και το πρόβλημα της τριχοτομήσεως της γωνίας.
Οι λύσεις πού δόθηκαν στο πρόβλημα, κατά την Ελληνική αρχαιότητα, σώθηκαν και έφθασαν σε μας από τον σχολιαστή των έργων του Αρχιμήδους Ευτόκιο (6 αι. μ.χ).
Αυτός σχολιάζοντας ανάλογο πρόβλημα του Αρχιμήδη καί τήν μέθοδο πού αυτός χρησιμοποίησε γιά νά τό λύσει, δίνει όλες τίς λύσεις παρεμβολής πού του ηταν τότε γνωστές από παλαιότερες συγγραφές. Οί λύσεις πού δίνει ειναι 12 καί η αρχαιότερη ειναι του Αρχύτα. Οι κυριότερες από τίς γνωστές λύσεις ειναι του:
· Ιπποκράτους του Χίου (470-400 π.Χ.)
· Αρχύτα του Ταραντίνου (428-365 π.Χ.)
· Πλάτωνος (427-347 π.Χ.)
· Μέναιχμου (375- π.Χ.)
· Αρχιμήδους (287-212 π.Χ.)
· Ερατοσθένους (276-194 π.Χ.)
· Απολλωνίου (265-170 π.Χ.)
· Νικομήδους (περίπου 200 π.Χ.)
· Ήρωνος του Αλεξανδρινου (μεταξύ 1ου καί 2ου αι. μ.Χ.)
· Διοκλέους (1ος αι. π.Χ.)
· Πάππου του Αλεξανδρινου (3ος αί. μ.Χ.)
Κατά μία εκδοχή ο Βασιλιάς της Κρήτης Μίνως ειχε διατάξει νά κατασκευασθει γιά τόν υιόν του Γλαυκο, τάφος κυβικης μορφης, όταν όμως τόν ειδε νά κατασκευάζεται, έκρινε οτι ηταν πολύ μικρός γιά έναν βασιλέα καί διέταξε νά διπλασιαστει διατηρώντας τό κυβικό του σχημα.
Κατά άλλη εκδοχή χρησμός από τό μαντειο του Δηλίου Απόλλωνος επέβαλε στούς Δηλίους νά διπλασιάσουν τόν κυβικό βωμό του Απόλλωνος, γιά νά απαλλαγουν από τόν λοιμό πού μάστιζε τό νησί της Δήλου.
Παράδειγμα:
1. Έστω ό,τι έχουμε έναν κύβο μέ ακμή α = 5 μέτρα.
2. Ο όγκος αυτού του κύβου θά ειναι α3 = 5 Χ 5 Χ 5 = 125 κυβικά μέτρα.
3. Θέλουμε τώρα νά κατασκευάσουμε έναν κύβο μέ διπλάσιο όγκο, δηλαδή 2 Χ (α3) = 250 κυβικά μέτρα.
4. Αυτό από καθαρά μαθηματική άποψη ειναι αδύνατο, διότι η ακμή του διπλασίου κύβου, δηλαδή η κυβική ρίζα του 250 ειναι ένας αριθμός μέ άπειρα δεκαδικά ψηφία.
5. Στήν προκειμένη περίπτωση η κυβική ρίζα ειναι περίπου ο αριθμός 6,299605249 πού μας δίνει ένα κύβο μέ τόν ζητούμενο όγκο κατά προσέγγιση δισεκατομμυριοστου.
6. Πρακτικά βέβαια η διαφορά αυτή έχει μηδαμινή σημασία, αλλά μαθηματικά ειναι αδύνατη η επίλυση του προβλήματος μέ τόν κανόνα καί τόν διαβήτη καί επομένως καί η κατασκευή του κύβου.
Η λύση του Ερατοσθένους (276 – 194 π.Χ.)
γιά τό ΔΗΛΙΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Η λύση αύτή υλοποιειται μέ τήν κατασκευή οργάνου πού ονομάζεται «μεσολάβιον» καί τό οποιο επιτυγχάνει τήν κατασκευή των ενδιαμέσων χ και ψ, όπως προέβλεπε η ανάλυσις του Ιπποκράτους του Χίου.
Όπως αναφέρει ό Ευτόκιος, τήν λύση αυτή υπέβαλε ο Ερατοσθένης στόν Πτολεμαιο, σέ μία επιστολή στήν οποια αναφέρεται τό ιστορικό του προβλήματος καί ενός υποδείγματος του μεσολάβου, ενω άλλο λίθινο ομοίωμά
του αφιέρωσε στόν ναό του Φαραώ Πτολεμαίου.
Ο μεσολάβος αποτελείται από ένα ορθογώνιο πλαίσιο του οποίου η άνω καί η κάτω πλευρά έχουν αυλάκια εντός των οποίων δύνανται νά κινουνται τρία ίσα ορθογώνια τρίγωνα.
Μέ διαδοχικές μετακινήσεις των κινητων τριγώνων βρίσκουμε τά ενδιάμεσα σημεια Β καί Γ καθιστώντας τα συνευθειακά με τα Δ και Α, λαμβάνοντας ως αρχή το τμημα α καί μέ τό Θεώρημα του Θαλη προσδιορίζουμε τό τμημα χ από τήν γνωστή ανάλυση του προβλήματος από τόν Ιπποκράτη τόν Χίο.
Απόδειξις
Προεκτείνωμεν τήν ΑΔ μέχρις ότου αύτη συνάντηση τήν προέκτασιν της ΕΘ εις τι σημείον Κ. Ένεκα των παραλλήλων ΒΖ, ΓΗ λαμβάνομεν:
ΑΚ : ΚΒ = ΕΚ : ΚΖ
Ένεκα των παραλλήλων ΑΖ, ΒΗ λαμβάνομεν: ΑΚ:ΚΒ = ΖΚ:ΚΗ
Άρα προκύπτει: ΑΚ:ΚΒ = ΕΚ:ΚΖ = ΖΚ:ΚΗ (1)
Ένεκα τον παραλλήλων ΒΖ, ΓΗ λαμβόνομεν: ΒΚ:ΚΓ = ΖΚ:ΚΗ
Ένεκα των παραλλήλων ΒΗ, ΓΘ λαμθάνομεν: ΒΚ:ΚΓ = ΗΚ:ΚΘ
Συνεπως: ΒΚ : ΚΓ = ΖΚ:ΚΗ = ΗΚ:ΚΘ (2)
Εκ της (1) προκύπτει: ΕΚ:ΚΖ = ΖΚ:ΚΗ καί
εκ της (2) λαμβάνωμεν: ΖΚ:ΚΗ = ΗΚ: ΚΘ
Από τίς δύο ανωτέρω προκύπτει: ΕΚ:ΚΖ = ΖΚ: ΚΗ – ΗΚ:ΚΘ. (3)
Επειδή ΕΚ:ΚΖ = ΑΕ:ΒΖ καί ΖΚ:ΚΗ = ΒΖ:ΓΗ – ΗΚ:ΚΘ = ΓΗ:ΔΘ.
Δι’ αντικαταστάσεως εις τήν (1) λαμβάνωμεν:
ΑΒ:ΒΖ = ΒΖ : ΓΗ = ΓΗ: ΔΘ
Ήτοι αι ζητούμεναι δύο μέσαι ανάλογοι ειναι αι ΒΖ, ΓΗ.
Εάν καλέσωμεν:
ΑΕ = β = 2α, ΒΖ = y, ΓΗ= x, Δθ = α, έχομεν την ζητούμενην σχέσιν x = (2)1/3, κατά την αναγωγήν του Ιπποκράτους του Χίου.
Ελπίζω τά μαθηματικά νά μήν σας κούρασαν, πλέον του δέοντος, πλήν όμως κρίθηκαν απαραίτητα γιά τήν πληρότητα του κειμένου.
Τελικως, γιά τήν ιστορία, αναφέρουμε ό,τι η φράσις «Δήλιον Πρόβλημα» κατέστη συνώνυμον του αλύτου (δυσεπιλύτου κατ’ άλλους) προβλήματος.
Κατά τήν προσωπική μου άποψιν, έχουμε ένα επιπλέον τεκμήριο γιά τήν καταγωγή της αναλυτικης γεωμετρίας.
Αεί ο Θεός Γεωμετρει
Πηγές:
1. Εθνικό καί Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων – Σχολή Θετικων Επιστημων – Τμήμα Μαθηματικων: Διπλωματική εργασία του κυρίου Χρυσανθακόπουλου.
2. http://epistito.blogspot.com/2007/11/mesolavos-can-double-cube-by.html
3. http://www.freesymbolforum.com/index.php?topic=928.0
http://www.freewebtown.com/gr_math/mathimatikoi/eratosthenes_of_cyrene/eratosthenis_stamati.pdf