Η πανάρχαια Ελληνική επιστήμη της Γεωμετρίας

Η Γεωμετρία δεν είναι βέβαια το μόνο από τα αγαθά τού πολιτισμού, πού κατέλιπεν η Ελληνική αρχαιότης, είναι όμως ασφαλώς τό διαχρονικώτερο.

Η γεωμετρία τού Ευκλείδου, τα περίφημα “Στοιχεία”, ισχύουν απαράλλακτα μέχρι σήμερα, χωρίς να χρειασθούν αναθεωρήσεις, βελτιώσεις ή κάποιες προσθήκες. Τα “Στοιχεία” αποτελούν ένα από τα αθάνατα μνημεία της ανθρώπινης σοφίας, κτήμα εσαεί των επιγιγνομένων.

Η γεωμετρία υπό την πρακτική και εμπειρική της μορφήν δεν ήταν βεβαίως άγνωστος στους αρχαίους ανατολικούς λαούς.

Ο Ηρόδοτος παραδίδει ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χάρις στις γεωμετρικές τους γνώσεις μπορούσαν να αποκαθιστούν τα όρια των κτημάτων τους μετά τις ετήσιες πλημμύρες τού Νείλου.

Όμως οι σχετικές γνώσεις τους ήταν ασυστηματοποίητες και δεν ξεπερνούσαν τα όρια της απλής εμπειρίας. Εγνώριζαν τό “πώς”, αλλά δέν κατώρθωσαν ποτέ νά φθάσουν στό “διατί”. Αυτήν τήν δόξαν επέπρωτο νά δρέψη η ιδιοφυϊα τών αρχαίων Ελλήνων.

Ο Θαλής ο Μιλήσιος (640-546 π.Χ.) είναι εκείνος πού εισήγαγε ή μάλλον ανεκάλυψε τήν απόδειξι τών γεωμετρικών καί μαθηματικών προτάσεων. Η εύρεσις τής αποδεικτικής μεθόδου ήταν μία από τίς μεγάλες στιγμές τής Ανθρωπότητος καί εν τούτοις πολλοί λίγοι έχουν συνειδητοποιήσει τήν καταλυτική σημασία τής καινοτομίας εκείνης στήν εξέλιξι τού ανθρωπίνου πνεύματος καί στήν ιστορία τού πολιτισμού γενικώτερον.

Ο άνθρωπος αποτινάζει σιγά-σιγά τά δεσμά τής αυθεντίας καί γίνεται αυτεξούσιος, αφού μπορεί μόνος του πλέον νά γνωρίζη, νά αποδεικνύη, νά βεβαιώνεται. Ετσι λοιπόν ο Θαλής δέν θεωρείται απλώς ως ο ευρέτης τής θεωρητικής γεωμετρίας, αλλά καί ο εισηγητής τής παγκοσμίου επιστήμης.

Ιστορικό είναι τό επίτευγμα, πού διέσωσεν ο Πλούταρχος, κατά τό οποίον ο Θαλής κατέπληξε τόν Φαραώ Αμασιν, όταν υπελόγισε τό ύψος τής μεγάλης πυραμίδος εκ τού μήκους τής σκιάς, μέ τήν μέθοδο τών αναλογιών. Θά έπρεπε ο ανδριάς τού μεγάλου αυτού Μιλησίου νά κοσμή όλα τά Ανώτατα Εκπαιδευτικα Ιδρύματα, ως ελάχιστος φόρος τιμής στόν πρώτον πραγματικόν επιστήμονα τής ανθρωπότητος, πού μάλιστα εθεώρει εαυτόν ευτυχή πού εγεννήθη Ελλην.

Ο Πυθαγόρας (572-500 π.Χ.), ο μέγας αυτός φιλόσοφος, μαθηματικός καί μύστης, έδωσε νέα ώθησι στήν γεωμετρία, μισόν αιώνα αργότερα. Μάλιστα τά μισά περίπου από τά δέκα τρία βιβλία τών “Στοιχείων” τού Ευκλείδου, στηρίζονται σέ εργασίες τού Πυθαγόρου καί τής Σχολής του.

Ο Πυθαγόρας έβλεπε τήν γεωμετρία μέσα από τήν πνευματική της διάστασι, ο δέ όρκος τών νεοφύτων τού “Ομακοείου”, δηλ. τής μυητικης Σχολής του, ήταν “Η Γεωμετρία νά χρησιμεύη γιά τήν πνευματική καλλιέργεια καί όχι πρός πλουτισμόν”. Ονομαστόν έγινε τό Πυθαγόρειον Θεώρημα, τού οποίου τήν απόδειξιν εύρεν ο φιλόσοφος καί καταληφθείς υπό ενθουσιασμού εθυσίασε, κατά τήν παράδοσιν εκατόμβην. Τό θεώρημα αυτό εξακολουθεί ακόμη καί σήμερα νά ασκή ακαταμάχητον γοητείαν καί μέχρι τώρα έχουν καταγραφή 370 διαφορετικές αποδείξεις.

Οι αρχαίοι Ελληνες μαθηματικοί εθεώρουν τά τιθέμενα προβλήματα ως πνευματικά παίγνια καί ως καλοί αθληταί ησθάνοντο τήν υποχρέωσιν νά τιμήσουν τούς Θεούς μετά τήν νίκην των. Ετσι καί ο Θαλής, όταν απέδειξε τήν σημαντική πρότασιν ότι επί ημιπεριφερείας κύκλου βαίνει ορθή γωνία, ευγνώμων πρός τούς Θεούς εθυσίασε βούν.

Είναι δύσκολο σήμερα νά συλλάβωμε ποία σημασία είχε γιά τούς αρχαίους προγόνους μας η λύσις κάποιου προβλήματος ή η ανεύρεσις τής αιτίας ενός φαινομένου. Ο Δημόκριτος έλεγε ότι προτιμά νά ανεύρη τήν αιτίαν ενός φαινομένου παρά νά τού χαρίσουν τόν θρόνον τού Μεγάλου Βασιλέως τής Περσίας. Νά μή ξεχνούμε επίσης τόν ένθεον ζήλον τού Αρχιμήδους, όταν ανήγγειλε τήν ανακάλυψι τού νόμου τής ανώσεως, μέ τό περίφημον έκτοτε καταστάν “Εύρηκα”!.

Αμέσως μετά τήν πρώτη συγκρότησι καί συστηματοποίησι τής γεωμετρίας, τρία μεγάλα προβλήματα άρχισαν νά απασχολούν τήν ελληνική φιλοσοφική διανόησι: α) Ο τετραγωνισμός τού κύκλου, β) Τό Δήλιον Πρόβλημα (ο διπλασιασμός τού κύβου) καί γ) Η τριχοτόμησις τής γωνίας. Τά μόνα επιτρεπόμενα μέσα ήσαν ο (αβαθμολόγητος) κανών καί ο διαβήτης. Τά υπόλοιπα έπρεπε νά αναλάβη η ανθρώπινη διάνοια. Ηταν καί αυτό ένα δείγμα τού υψηλού ήθους τών αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, μέ την πρωτοκαθεδρία πού έδιδαν στόν καθαρό λογισμό.

Τά προβλήματα αυτά έμειναν άλυτα, όμως η προβληματική περί τήν αναζήτησιν τών λύσεων ωδήγησεν εμμέσως στήν μεγάλη ανάπτυξι τής γεωμετρίας στήν κλασσική ελληνική αρχαιότητα καί μετέπειτα. Σήμερα βέβαια, μέ τό μοιρογνωμόνιο, τίς τριγωνομετρικές μεθόδους, τούς πίνακες, τούς υπολογιστάς κτλ, τά προβλήματα αυτά είναι πλέον άνευ αντικειμένου.

Ομως η θεωρητική τους αξία παραμένει απαραμείωτος. Οι αρχαίοι είχαν σέ υψηλή περιωπή τήν γεωμετρία. Τήν εθεώρουν σάν απαραίτητο εργαλείο γιά τήν φιλοσοφική καί γενικώτερα τήν επιστημονική σκέψι. Στό υπέρθυρον τής Πλατωνικής Ακαδημείας, η επιγραφή “Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω” απεθάρρυνε τούς αμοίρους τής γεωμετρικής τέχνης νά γευθούν τά υψηλά νάματα τής φιλοσοφίας.

Μάλιστα ο Πλάτων (427-347 π.x.) εθεώρει τά μαθηματικά δώρο τών Θεών πρός τούς ανθρώπους. Εις αυτόν αποδίδεται η περίφημος φράσις: “Αεί ο Θεός γεωμετρεί”, τής οποίας οι τρείς πρώτες λέξεις, κατά τρόπον παράδοξον, δίνουν τήν κατά προσέγγισιν τιμήν τού αριθμού π = 3,14. Τό “παράδοξον” δέ έγκειται εις τό ότι οι αρχαίοι Ελληνες υποτίθεται ότι αγνοούσαν τήν χρήσιν τών δεκαδικών αριθμών, καθώς δέν είχαν συλλάβει την έννοια τού μηδενός. Είναι όμως έτσι ή μήπως έχομε πολλά ακόμη να μάθωμε από την σοφία των αρχαίων προγόνων μας;

Ας σημειωθεί ακόμη ότι ο Πλάτων, μέγας μαθηματικός ο ίδιος, ήταν εκείνος πού καθιέρωσε την χρήση τού κανόνος και τού διαβήτου, πού απετέλεσε στοιχείον εγκυρότητος γιά τίς προτεινόμενες λύσεις τών γεωμετρικών προβλημάτων καί αναγκαίαν συνθήκην διά τό πνευματικώς “εύ αγωνίζεσθαι”.

Στούς Αλεξανδρινούς Χρόνους, ο Ευκλείδης (330-270 π.Χ.) με τά “Στοιχεία” του εσυστηματοποίησε καί εκωδικοποίησε όλες τίς προγενέστερες γνώσεις καί παρέδωσε στήν ανθρωπότητα ίσως τό πλέον πολυδιαβασμένο καί πολυμεταφρασμένο επιστημονικό βιβλίο. Τά “Στοιχεία” δέν είναι μόνον ένα εγχειρίδιον γεωμετρίας, όπως θά ενόμιζε κανείς. Περιέχουν επίσης τίς βάσεις τής θεωρίας τών αριθμών, στήν θεμελίωσι τής οποίας ο μέγας εκείνος “Στοιχειωτής” συνέβαλεν όσον ολίγοι. Γνωστός καί εν χρήσει ακόμη σήμερα είναι ο “Αλγόριθμος τού Ευκλείδου”, γιά τήν εύρεσι τού μεγίστου κοινού διαιρέτου (ΜΚΔ), η “Ευκλείδειος Διαίρεσις” κτλ.

Σήμερα ο Ευκλείδης με την γεωμετρία του εξακολουθεί να παραμένη επίκαιρος, παρά την ραγδαία μεταβολή των αντιλήψεων περί τού χώρου και τού σύμπαντος κόσμου. Ακόμη και οι νέες, “μη ευκλείδειες γεωμετρίες” τού Riemann καί τού Lobatsevski δεν εστάθησαν ικανές να αμφισβητήσουν την διαχρονική αξία των “Στοιχείων”, πολλώ δε μάλλον να τα υποκαταστήσουν.

Ακολούθησε μία πλειάς λαμπρών μαθηματικών, πού διηύρυναν τον ορίζοντα της γεωμετρίας, όπως οι: Ίππαρχος, Μέναιχμος, Μενέλαος, Πτολεμαίος, Ήρων, Απολλώνιος ο Περγαίος και πολλοί άλλοι. Ιδιαίτερη μνεία πρέπει να γίνει στον Αρχιμήδη (284-212 π.Χ.), πού κατά πολλούς υπήρξε ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εθνών και όλων των εποχών.

Ακόμη ο Αλεξανδρινός Θέων, τού οποίου κόρη ήταν η περίφημος διά τήν καλλονήν της νεοπλατωνική φιλόσοφος Υπατία, εξ ίσου μεγάλη μαθηματικός και αυτή, αποκληθείσα μάλιστα “Γεωμετρική”.

Η Υπατία (370-415 μ.Χ.) υπήρξε αθώο θύμα του Χριστιανικού φανατισμού, ενώ με τον Θέωνα και την ιδία ετερματίσθη ουσιαστικά η συνεισφορά των Ελλήνων στην παγκόσμια μαθηματική επιστήμη.

Η γεωμετρία αποτελεί το τελειότερον όργανον λογικής, στην ουσία είναι η λογική εφηρμοσμένη. Προάγει την σκέψη και την φαντασία, αν δε εγκύψη κανείς στο βαθύτερο περιεχόμενό της, θα συλλάβει το νόημα της αρμονίας και της εν τώ κόσμω τάξεως. Η σκέψης γίνεται εδραία, στερεά και αποφεύγονται οι άνευ έρματος νοητικές ακροβασίες. Μέσα από την γεωμετρία και τα μαθηματικά καθίσταται ευκολωτέρα η προσπέλασις των υψηλών φιλοσοφικών εννοιών.

Πριν από λίγα χρόνια, σ’ ένα συνέδριο διδακτικής, ο Σοβιετικός ακαδημαϊκός Α.Δ. Αλεξανδρώφ είπε ότι εκτός από τούς μηχανικούς και τούς αρχιτέκτονες, τούς πολεοδόμους κ.α., πρέπει να διδάσκονται την Γεωμετρία σε πανεπιστημιακό επίπεδο και οι ιατροί και οι δικαστικοί. Ημείς οι σύγχρονοι Έλληνες, ως φορείς της μεγάλης εκείνης κληρονομίας, επιβάλλεται να επανασυνδεθούμε με την λαμπράν παράδοσιν των αρχαίων γεωμετρών και να φανούμε αντάξιοί τους. Είναι η ιστορική μας οφειλή. Η καλλιέργεια της Γεωμετρίας είναι δική μας υπόθεσης.

Δυστυχώς όμως η γεωμετρική παιδεία στην χώρα όπου εγεννήθη, ευρίσκεται τα τελευταία χρόνια σε πλήρη υποβάθμισι και νοσεί επικίνδυνα. Η Γεωμετρία διδάσκεται ξηρά, αποσπασματικά και το χειρότερο, αποκομμένη από τις ιστορικές της καταβολές και την ευρύτερη πνευματική της διάσταση. Όπως δε παρατηρεί η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία σε πρόσφατο (Οκτώβριος 1995) διάβημά της προς το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο,

“Ο περιορισμός της διδακτέας ύλης (άρα και της αντίστοιχης θεωρίας) της Γεωμετρίας, όχι μόνο οδηγεί στην υποβάθμιση τού ρόλου της, όταν είναι γνωστό ότι στην διεθνή μαθηματική κοινότητα συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο, αλλά είναι βέβαιο ότι θα έχει σοβαρότατες συνέπειες στην όλη εκπαιδευτική πράξη, αφού είναι γνωστό ότι η Γεωμετρία είναι το κατ’ εξοχήν μάθημα, πού βοηθάει το μαθητή να αναπτύξει την ικανότητα κριτικής σκέψεως. “Αεί ο Θεός γεωμετρεί ης καί φαντασίας“.

Ιωάννης-Αδωνις Μελικέρτης