Στην ιστορία των μαθηματικών υπάρχει κάποιος άνδρας που αποτελεί ίσως την πρώτη αληθινή ευφυία στο πεδίο της θεωρίας αριθμών. Μια από τις εργασίες του μάλιστα επηρέασε τόσο πολύ τους μεταγενεστέρους του ευρωπαίους αριθμοθεωριτικούς ώστε η γέννηση της να δικαιούται να χαρακτηριστεί ως μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών. Ο άνδρας αυτός είναι ο Διόφαντος και η εργασία που αναφέραμε τα περίφημα Αριθμητικά του.
Υπάρχουν κάποιες φτωχές ενδείξεις που τοποθετούν τον Διόφαντο στον 1ο αιώνα, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί τον τοποθετούν στον 3ο αιώνα. Πέρα από το γεγονός ότι έζησε στην Αλεξάνδρεια, τίποτ’ άλλο δεν είναι γνωστό για την προσωπική ζωή του. Η μεθοδολογία και η συλλογιστική του Διόφαντου στην αναζήτηση λύσης προβλημάτων σε μορφή εξισώσεων υπήρξε θεμελιώδης στην εξέλιξη του κλάδου των μαθηματικών, της Άλγεβρας.Αν και την Άλγεβρα την είχαν παρουσιάσει προγενέστεροί του, όπως ο Ευκλείδης, ο Θυμαρίδας, ο Νικομήδης κ.α., την εξέλιξε σε τέτοιο βαθμό, ώστε να θεωρείται «πατέρας» της. Με την ανάπτυξη της Άλγεβρας έθεσε τις βάσεις σε μια σημαντική πτυχή των σύγχρονων μαθηματικών, τη Διοφαντική Ανάλυση, δίνοντας μια μεθοδολογία επίλυσης απροσδιόριστων εξισώσεων με πολλαπλές λύσεις. Επίσης θεωρείται πρόδρομος του μαθηματικού συμβολισμού, εισάγοντας πρώτος σύμβολα στις άγνωστες μεταβλητές των προβλημάτων.
Όταν πέθανε ο μαθηματικός Διόφαντος, οι μαθητές του, κατόπιν δικής του επιθυμίας, αντί άλλου επιγράμματος για τον τάφο του, συνέθεσαν ένα γρίφο, ως εξής: «ΔΙΑΒΑΤΗ, Σ’ ΑΥΤΟΝ ΤΟΝ ΤΑΦΟ ΑΝΑΠΑΥΕΤΑΙ Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ. ΣΕ ΕΣΕΝΑ ΠΟΥ ΕΙΣΑΙ ΣΟΦΟΣ, Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΘΑ ΔΩΣΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΥΣΕ. ΟΙ ΘΕΟΙ ΤΟΥ ΕΠΕΤΡΕΨΑΝ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΝΕΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΝΑ ΕΚΤΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΜΑ ΕΝΑ ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΚΑΙ ΦΥΤΡΩΣΕ ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΓΕΝΙ ΤΟΥ. ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΕΒΔΟΜΟ ΑΚΟΜΑ, ΗΡΘΕ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ ΤΟΥ Η ΜΕΡΑ. ΤΟΝ ΠΕΜΠΤΟ ΧΡΟΝΟ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ, ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΕΝΑ ΠΑΙΔΙ. ΤΙ ΚΡΙΜΑ, ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΑΡΟ ΤΟΥ ΓΙΟ. ΑΦΟΥ ΕΖΗΣΕ ΜΟΝΑΧΑ ΤΑ ΜΙΣΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΤΕΡΑ ΤΟΥ, ΓΝΩΡΙΣΕ ΤΗΝ ΠΑΓΩΝΙΑ ΤΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ. ΤΕΣΣΕΡΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ, Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΒΡΗΚΕ ΠΑΡΗΓΟΡΙΑ ΣΤΗ ΘΛΙΨΗ ΤΟΥ, ΦΤΑΝΟΝΤΑΣ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. «
Το επίγραμμα είναι από τους πιο γνωστούς μαθηματικούς γρίφους και από τη λύση του μαθαίνουμε ότι ο Διόφαντος πέθανε σε ηλικία ογδόντα τεσσάρων ετών. Η λύση του έχει έτσι: ο Διόφαντος πέρασε δέκα τέσσερα χρόνια ως παιδί, εφτά ως νέος και άλλα δώδεκα ως εργένης, οπότε παντρεύτηκε στα τριάντα τρία. Τον πέμπτο χρόνο του γάμου του, σε ηλικία τριάντα οχτώ ετών, απέκτησε ένα γιο, ο οποίος έζησε τα μισά χρόνια του πατέρα του, δηλαδή πέθανε στα σαράντα δυο, όταν ο Διόφαντος ήταν ογδόντα. Μετά τέσσερα χρόνια πέθανε κι ο ίδιος, όντας ογδόντα τεσσάρων ετών.
Ο Διόφαντος έγραψε τρεις μαθηματικές εργασίες: τα Αριθμητικά, από την οποία έχουν σωθεί μόνο έξι από τα δεκατρία βιβλία, Για τους Πολυγωνικούς Αριθμούς, από την οποία υπάρχει ένα μόνο μέρος και τα Πορίσματα, που έχουν χαθεί.
Τα Αριθμητικά είναι μια μεγάλη και εντελώς πρωτότυπη εργασία. Είναι μια αναλυτική αντιμετώπιση της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών που χαρακτηρίζει το συγγραφέα ως έξυπνο δεξιοτέχνη αυτού του πεδίου. Πολλοί σχολιαστές ασχολήθηκαν με αυτή την εργασία, αλλά ο Ρεγιομοντάνος ήταν αυτός που στα 1463 ζήτησε μια λατινική μετάφραση του σωζόμενου ελληνικού κειμένου. Την πρόκληση αποδέχτηκε ο Ξυλάντερ (Xylander, εξελληνισμένο όνομα του Wilhelm Holzmann, καθηγητή στο πανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργης) ο οποίος έκανε μια αξιέπαινη μετάφραση που συνοδευόταν από σημαντικά σχόλια. Η μετάφραση αυτή χρησιμοποιήθηκε στη συνέχεια από τον Γάλλο Μπάσε ντε Μεζιριάκ (Bachet de Meziriac), ο οποίος στα 1621 δημοσίευσε την πρώτη έκδοση του ελληνικού κειμένου μαζί με μια λατινική μετάφραση και σημειώσεις. Στα 1670 έγινε μια δεύτερη έκδοση της ίδιας αυτής μετάφρασης, δυστυχώς όμως αρκετά απρόσεκτη. Αυτή η δεύτερη έκδοση έχει ιδιαίτερη ιστορική σημασία, διότι περιείχε, ενσωματωμένες στο κείμενο τις περίφημες σημειώσεις που έκανε ο Φερμά στο περιθώριο, σημειώσεις που προκάλεσαν πολλές έρευνες στη θεωρία αριθμών. Αργότερα εμφανίστηκαν γαλλικές, γερμανικές και αγγλικές μεταφράσεις των Αριθμητικών. Το σύγγραμμά του Αριθμητικά,είναι το αρχαιότερο ελληνικό σύγγραμμαάλγεβρας
Το μέρος της Αριθμητικής που έχει σωθεί ασχολείται με την επίλυση 130 περίπου προβλημάτων μεγάλης ποικιλίας, που οδηγούν σε εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθμού, και λύνεται επίσης μια πολύ ειδική κυβική εξίσωση. Το πρώτο βιβλίο περιέχει εξισώσεις με έναν άγνωστο, ενώ τα άλλα βιβλία ασχολούνται με απροσδιόριστες εξισώσεις δεύτερου βαθμού με δύο και τρεις αγνώστους. Είναι εντυπωσιακή η απουσία γενικών μεθόδων και η επινόηση έξυπνων μαθηματικών τεχνασμάτων που σχεδιάζονται για τις ανάγκες κάθε συγκεκριμένου προβλήματος. Ο Διόφαντος δεχόταν μόνο θετικές και ρητές λύσεις και στις περισσότερες περιπτώσεις ήταν ικανοποιημένος όταν έβρισκε μια λύση σε ένα πρόβλημα, έστω κι αν αυτό δεχόταν κι άλλες λύσεις.
Υπάρχουν μερικά αρκετά δύσκολα θεωρήματα που διατυπώνονται στα Αριθμητικά. Για παράδειγμα, βρίσκουμε, χωρίς απόδειξη αλλά με αναφορά στα Πορίσματα, την πρόταση ότι η διαφορά δύο ρητών κύβων είναι επίσης άθροισμα δυο ρητών κύβων — ένα ζήτημα που διερευνήθηκε αργότερα από τους Φρανσουά Βιέτ (Francois Viete) ντε Μεζιριάκ και ντε Φερμά. Υπάρχουν πολλές προτάσεις σχετικά με την παράσταση αριθμών ως αθροίσματος δυο, τριών ή τεσσάρων τετραγώνων, ένα πεδίο που διερευνήθηκε και ολοκληρώθηκε αργότερα από τους ντε Φερμά, Όυλερ και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ (Joseph Louis Langranz).
Από την εποχή του Διόφαντου τουλάχιστον και δεν ξέρουμε ακόμη πόσο πιο πριν, οι έλληνες μαθηματικοί βρει τον τρόπο προβλήματα που λύνονταν συνήθως μια περίπλοκη σειρά αλγοριθμικών βημάτων, με πρακτική αριθμητική όπως λέγαμε στο δημοτικό σχολείο, να τα λύνουν μεταφράζοντας το πρόβλημα σε εξίσωση με τη χρησιμοποίηση κάτι αντίστοιχου με τον δικό μας σημερινό άγνωστο Χ. Δηλαδή να καταστρώνουν και εκείνοι μια εξίσωση και να φθάνουν πολύ πιο εύκολα στο αποτέλεσμα.
Η σημασία της ανακάλυψης που έγινε στην έδρα της Ιστορίας των Μαθηματικών από τους Χριστιανίδη και Σκούρα έγκειται στο ότι βρέθηκε και αποδείχθηκε πως ο μαθηματικός Θέων χρησιμοποίησε και σε άλλα πεδία την «αλγεβρική» μέθοδο του Διόφαντου, που ήταν μάλλον σε κοινή χρήση από τους τότε ανθρώπους, για τη λύση πρακτικών αριθμητικών προβλημάτων.
«Οι Άραβες δεν έκαναν τίποτε παραπάνω από το να μεταφράσουν και να διασώσουν κείμενα και δεν προσέθεσαν μια γραμμή στο σώμα των ήδη γνωστών μαθηματικών θεωριών».
Την εποχή του Μεσαίωνα της Ευρώπης οι Άραβες μελέτησαν και εμπλούτισαν την άλγεβρα και σ΄ αυτούς οφείλει και την ονομασία της (άλγεβρα = παραφθορά του όρου al-gabr = πλήρης / ολοκληρωμένη αριθμητική ή κατ’ άλλους προήλθε όμοια από το έργο Αράβων μαθηματικών του 9ου αι.: al – gabr w’ al-mugabala = ανασύσταση και μείωση). Έπειτα η άλγεβρα και η ανάλυση διαδόθηκαν στην Ιταλία μέσω κυρίως του Leonardo της Πίζας (Fibonacci), ο οποίος μετέφερε πολλές γνώσεις από τα ταξίδια του στην Ανατολή. Αργότερα, κατά τον 16ο αι., το έργο του Διόφαντου έγινε γνωστό και άρχισαν να δημοσιεύονται μεταφράσεις των Αριθμητικών. Από τους νεότερους μαθηματικούς ο Euler μελέτησε Διόφαντο και έδωσε παρόμοιες λύσεις με αυτόν στις εξισώσεις του.