Διεθνούς φήμης οφθαλμίατρος και πανεπιστημιακός δάσκαλος. Υπήρξε από τους θεμελιωτές της οφθαλμολογίας στη χώρα μας.
Ο Ανδρέας Αναγνωστάκης γεννήθηκε στις 11 Αυγούστου 1826 στα Αντικύθηρα από γονείς καταγόμενους από τα Σφακιά της Κρήτης. Σπούδασε ιατρική στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και το 1849 ανακηρύχθηκε διδάκτωρ. Συνέχισε τις σπουδές του στη Βιέννη, το Βερολίνο και το Παρίσι, όπου ειδικεύτηκε στην οφθαλμολογία.
Το 1854 επινόησε στο Λονδίνο ένα νέο τύπο οφθαλμοσκοπίου (Anagnostakis Ophthalmoscope), αρτιότερο από το αρχικό οφθαλμοσκόπιο του Γερμανού γιατρού και φυσικού Χέρμαν φον Χέλμχολτζ (1821-1894). Ήταν μία από τις πιο σημαντικές ιατρικές ανακαλύψεις της εποχής του, που συντέλεσε στη διάδοση της διαγνωστικής μεθόδου.
Το 1854 επέστρεψε στην Αθήνα και διορίστηκε διευθυντής του Οφθαλμιατρείου, θέση στην οποία παρέμεινε έως τον θάνατό του. Την ίδια χρονιά εξελέγη υφηγητής της οφθαλμολογίας και ωτολογίας στην Ιατρική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών, στη συνέχεια έκτακτος καθηγητής και τέλος τακτικός καθηγητής στις 27 Σεπτεμβρίου 1856. Με πρόταση της Ιατρικής Σχολής ενεκρίθη από το Υπουργείο να διδάσκει εκτός των μαθημάτων της ειδικότητάς του και «οιονδήποτε άλλο μάθημα θέλει της Χειρουργικής».
Όπως αναφέρει ο Τύπος της εποχής, ο Ανδρέας Αναγνωστάκης «Τω 1857 διέπρεψεν εις την εν Βρυξέλλαις παγκόσμιον σύνοδον των οφθαλμιολόγων, τω δε 1862 έλαβεν ωσαύτως ενεργητικώτατον μέρος εις την εν Παρισίοις σύνοδον των οφθαλμιατρών». Διετέλεσε πρόεδρος του Α’ και του Β’ Πανελλήνιου Ιατρικού Συνεδρίου (1882 και 1885), διευθυντής της Ιατρικής Εφημερίδος, συντάκτης του περιοδικού Ασκληπιός και συνεργάτης του ιατρικού περιοδικού Annales d’ oculitistique, που εκδιδόταν στις Βρυξέλλες. Το όνομα του φέρει η εγχειρητική μέθοδος θεραπείας του εντροπίου (Εγχείρηση Αναγνωστάκη).
Δημοσίευσε πολλές μελέτες στα ελληνικά και τα γαλλικά. Κυριότερα έργα του είναι:
Οφθαλμοσκόπιον Αναγνωστάκη (1854)
Essai sur l’exploration de la retine et des milieu de l’oeil sur le vivant au moyen d’un nouvel opthalmoscope (1854)
Περί εγχειρήσεως του εντροπίου και της τριχιάσεως (1857)
De l’opthalmologie en Grece et en Egypte (1856)
Στοιχεία οφθαλμολογίας (1861)
Σύμμικτα οφθαλμολογίας (1861)
Περί των οφθαλμικών παθών (1871)
Τις ο εφευρέτης των μεγενθυντικών φακών (1873)
Μελέται περί της οπτικής των αρχαίων (1878)
Η υστερεκτομία παρ’ αρχαίοις (1891)
Η ιατρική του Αριστοφάνους (1892)
Περί ελληνικής καταγωγής των κυρτών φακών (α.χ.)
Κατά τη διάρκεια της πανεπιστημιακής του καριέρας, που διάρκεσε έως τον θάνατό του, διετέλεσε δύο φορές κοσμήτορας της Ιατρικής Σχολής (1868 και 1873) και μία φορά πρύτανης του Πανεπιστημίου Αθηνών το 1877.
Υπήρξε γνώστης της αρχαίας ελληνικής φιλολογίας και ασχολήθηκε ιδιαίτερα με την ποίηση. Το 1896 μετέφρασε έμμετρα το θεατρικό έργο Μαρία Στούαρτ του Γερμανού ποιητή Φρίντριχ Σίλερ. Τον Μάιο του 1889 εκλέχθηκε κριτής του «δραματικού αγώνος» (διαγωνισμού θεάτρου) στην Δ’ Ζάππεια Ολυμπιάδα, που έγινε στην Αθήνα.
Ο Ανδρέας Αναγνωστάκης πέθανε στην Αθήνα στις 27 Μαρτίου 1897.